什么是有理数和无理数(什么是有理数和无理数和实数)
什么是有理数和无理数？
有理数是整数(正整数、负整数和零)和分数(正分数、负分数)的总称。不是有理数的实数称为无理数，即无理数的小数部分是一个无限无循环数。0是绝对值最小的有理数。
在数学中，无理数都是非有理数的实数，后者是由整数的比值(或分数)组成的数。当两条线段的长度比无理数时，线段也被描述为不可比的，也就是不可“测”，即没有长度(“测”)。
常见的无理数有：圆周与直径之比、欧拉数E、黄金分割比等等。
可以看出，无理数在位置数系中的表示(例如在十进制数或任何其他自然基中)不会终止或重复，即不包含数的子序列。
比如，数的十进制表示从3.141592653589793开始，但是没有一个有限的位数可以准确表示，也没有重复。
有理数的十进制扩展必须终止或重复的证据与终止或重复的数的十进制扩展必须是有理数的证据是不同的。虽然这两个证明都很简单，也不冗长，但还需要一些工作。数学家通常不把“终止或重复”作为有理数概念的定义。
无理数也可以用无终止连分数来处理。
无理数是指在实数范围内不能表示为两个整数之比的数。简单来说，无理数就是十进制中无限循环的小数，比如圆周率等等。
有理数是由所有的分数和整数组成的，总可以写成整数、有限小数或无限循环小数，总可以写成两个整数的比值，比如21/7。
什么叫做有理数和无理数？？？
有理数：通常我们称之为可以写成分数形式的有理数。有理数是整数A与正整数B的比值，例如3/8，一般规律是A/B，有理数的小数部分是有限或无限的数。0也是有理数。整数和分数统称为有理数。整数也可以看作分母为1的分数。比如4=4.0，4/5=0.8，
无理数：不是有理数的实数称为无理数，即无理数的小数部分是一个无限无环数。如pi，2(根号2)，1/3=0.33333.
扩展信息：
实数分为有理数和无理数。
有理数分为整数和分数。
整数分为正整数、负整数和0。
分数分为正分和负分。
正整数和0也称为自然数。
参考资料：
百度——有理数
什么叫有理数和无理数
无限循环小数和有无穷根的数称为无理数，如，580000000005.
有理数正好相反，整数和分数统称为有理数。
包括整数和分数，也可以表示为有限小数或无限循环小数。
这个定义适用于十进制和其他进位制(如二进制)。
数学上，有理数是整数A与非零整数B的比值，通常写成a/b，所以也叫分数。希腊语里叫 ？原意是“有理数”，但中文翻译不妥，逐渐变成“合理数”。不是有理数的实数叫做无理数。
所有有理数的集合表示为Q，有理数的小数部分是有限的或循环的。
有理数分为整数和分数。
整数分为正整数、负整数和0。
分数分为正分和负分。
正整数和0也称为自然数。
比如3，-98.11，5.72727272，7/22都是有理数。
有理数还可以分为正整数、负整数、正分数、负分数和0。
所有有理数形成一个集合，即有理数集，用粗体字母Q表示，而一些现代数学书用空心字母Q表示。
有理数集是实数集的子集。相关内容见数系展开。
理性
乘法的交换律AB=BA
乘法结合律A(BC)=(AB)C；
分配定律A(B C)=ABAC；
有乘法的单位元10，使得对于任意有理数A，1a=a1=A；
对于不为0的有理数A，有一个乘法逆1/a，所以a(1/a)=(1/a)a=1。
0A=0文字解释：一个数乘以0仍等于这个数。
另外，有理数是一个有序域，即存在一个有序关系
有理数还是一个阿基米德场，即对于有理数A和B，a0，b0，必须找到一个自然数N才能做成nba。不难推断不存在最大有理数。
值得一提的是有理数的名字。“有理数”这个名字让人费解。有理数并不比其他数更“合理”。其实好像是翻译错误。有理数一词来源于西方，在英语中是有理数num。
ber，而rational通常的意义是“理性的”。中国在近代翻译西方科学著作，依据日语中的翻译方法，以讹传讹，把它译成了“有理数”。但是，这个词来源于古希腊，其英文词根为ratio，就是比率的意思（这里的词根是英语中的，希腊语意义与之相同）。所以这个词的意义也很显豁，就是整数的“比”。与之相对，“无理数”就是不能精确表示为两个整数之比的数，而并非没有道理。
有理数加减混合运算
1.理数加减统一成加法的意义：
对于加减混合运算中的减法，我们可以根据有理数减法法则将减法转化为加法，这样就可将混合运算统一为加法运算，统一后的式子是几个正数或负数的和的形式，我们把这样的式子叫做代数和。
2.有理数加减混合运算的方法和步骤：
（1）运用减法法则将有理数混合运算中的减法转化为加法。
（2）运用加法法则，加法交换律，加法结合律简便运算。
有理数范围内已有的绝对值，相反数等概念，在实数范围内有同样的意义。
一般情况下，有理数是这样分类的：
整数、分数；正数、负数和零；负有理数，非负有理数
整数和分数统称有理数,有理数可以用a/b的形式表达，其中a、b都是整数，且互质。我们日常经常使用有理数的。比如多少钱，多少斤等。
凡是不能用a/b形式表达的实数就是无理数，又叫无限不循环小数设至少需要n个这样的点能把整个平面涂成黑色
(1)n=1显然不成立
(2)n=2不成立（楼主已找到反例）
(3)n=3，则问题变成：在平面上找到三个点，使平面上任取一点到这三点的距离中，至少有一个距离为无理数
考虑到两点之间距离为l=√[(x1-x2)^2+(y1-y2)^2]，若l为无理数，则(x1-x2)^2和(y1-y2)^2中至少有一个为无理数
因此取点时必须取一种的特殊无理数，称为无理超越数。比如e，比如π
我们取以下三点：
(0,0), (e,0), (π,0)
那么平面内任意一点(x,y)和这三点的距离分别为：
l1=√(x^2+y^2)
l2=√[(x-e)^2+y^2]
l3=√[(x-π)^2+y^2]
要使l1为有理数，则有以下可能：
x^2，y^2均为有理数
x^2，y^2均为关于e的无理数
x^2，y^2均为关于π的无理数
x^2，y^2均为关于其他无理数的无理数
要使l2为有理数，则有以下可能：
x^2 为有理数, y^2 为关于e的无理数,
y^2 为有理数, x^2 为关于e的无理数,
x^2, y^2 均为关于e的无理数
要使l3为有理数，则有以下可能：
x^2 为有理数, y^2 为关于π的无理数,
y^2 为有理数, x^2 为关于π的无理数,
x^2, y^2 均为关于π的无理数
以上三种情况无交集，故l1, l2, l3中至少有一个为无理数
所以，至少需要三个点来把整个平面涂成黑色。
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我没能找到一般性的证明方法，只能找到这样的特例。有理数（rational number)：能精确地表示为两个整数之比的数．
如3，-98.11，5.72727272……，7/22都是有理数．
整数和通常所说的分数都是有理数．有理数还可以划分为正有理数，0和负有理数．
无理数指无限不循环小数 如：π
·无理数与有理数的区别：
1、把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，
比如4=4.0, 4/5=0.8, 1/3=0.33333……而无理数只能写成无限不循环小数,
比如√2=1.414213562…………根据这一点,人们把无理数定义为无限不循环小数.
2、所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能。无限不循环小数和开根开不尽的数叫无理数 ,比如π，3.141592653…
而有理数恰恰与它相反,整数和分数统称为有理数
包括整数和通常所说的分数，此分数亦可表示为有限小数或无限循环小数。
这一定义在数的十进制和其他进位制（如二进制）下都适用。无限不循环小数就是无理数,除此之外的实数就是有理数,就是整数和分数的合称
有理数和无理数，什么意思？
无理数与有理数的区别：
1、把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，
比如4=4.0, 4/5=0.8, 1/3=0.33333……而无理数只能写成无限不循环小数,
比如√2=1.414213562…………根据这一点,人们把无理数定义为无限不循环小数.
2、所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能。根据这一点，有人建议给无理数摘掉“无理”的帽子，把有理数改叫为“比数”，把无理数改叫为“非比数”。本来嘛，无理数并不是不讲道理，只是人们最初对它不太了解罢了。无限不循环小数和开根开不尽的数叫无理数
整数和分数统称为有理数
实数除了有理数，剩下的叫做无理数
